Concepto
Dispersión y correlación: cómo leer una nube de puntos, y qué dice el número que la resume.
Una inmobiliaria registra dos datos de cada departamento: la superficie, en metros cuadrados, y el precio, en miles de dólares. Tomemos uno: 75 metros cuadrados, 173.000 dólares. En el gráfico de dispersión, ese departamento es un punto: la superficie va en el eje de abajo, y el precio, en el de la izquierda.
Con los veinte departamentos aparece una nube. Y una nube se lee en tres pasos.
Primero, la dirección: si la nube sube hacia la derecha, cuanta más superficie, más precio. Si baja, pasa al revés.
Segundo, la forma: si los puntos forman una recta, o una curva.
Tercero, la fuerza: qué tan apretados están los puntos alrededor de esa forma.
El coeficiente de correlación, r, resume dirección y fuerza en un solo número, entre -1 y 1. En este caso da 0,91: sube, y bastante apretada.
Tres nubes para comparar. Esta sube: 0,91. Esta no tiene dirección: 0. Y esta baja: -0,86. El signo dice la dirección. Qué tan cerca está de 1, o de -1, dice la fuerza.
Pero r solo mide qué tan cerca están los puntos de una recta. La forma hay que mirarla.
En resumen. Dirección: sube o baja. Forma: recta o curva. Fuerza: qué tan apretada. Y r, entre -1 y 1, solo para rectas.
Ejemplo real
Un caso real con dispersión.
Una marca de bebidas mira dos años de datos: cuánto invirtió en publicidad cada mes, y cuántas unidades vendió. Veinticuatro meses, veinticuatro puntos.
La inversión va de $ 500.000 a $ 12 millones por mes. Las ventas, de 111.000 a 162.000 unidades.
La correlación da 0,86: alta. El equipo concluye que más publicidad trae más ventas, y propone duplicar el presupuesto: de $ 6 millones a $ 12 millones por mes.
Pero miremos la forma. Al principio la nube sube rápido: pasar de $ 1 millón a $ 2 millones suma 13.000 unidades. Después se aplana: pasar de $ 10 millones a $ 11 millones suma 400. La nube tiene techo, cerca de las 160.000 unidades.
Con $ 6 millones, la marca ya vende 155.000. Con $ 12 millones, menos de 5.000 más. $ 6 millones extra, por menos de 5.000 unidades.
¿Por qué el número no avisó? Porque la correlación mide qué tan cerca están los puntos de una recta, y una curva que sube y se aplana también da un número alto. La recta pasa por el medio de la nube. Con $ 12 millones promete 168.000 unidades. La nube dice 160.000.
La decisión: seguir en $ 6 millones por mes, y probar el resto del presupuesto en otro canal.
Regla para llevarte: una correlación alta dice que la nube sube. La forma dice hasta dónde.
Error típico
Un analista recibe cuatro tablas, cada una con once filas. Calcula la correlación de las cuatro, y las cuatro dan lo mismo: 0,816. El promedio también coincide: 7,5.
Conclusión del informe: las cuatro relaciones son iguales. Un solo modelo para las cuatro.
Ahora dibujemos las nubes.
La primera: una recta con ruido. Acá el número cuenta bien la historia.
La segunda: una curva perfecta. Los puntos suben, y después bajan. Una recta no la describe.
La tercera: una recta perfecta, y un solo punto lejos que la desvía.
La cuarta: todos los puntos en la misma columna, menos uno. Ese punto solo arma toda la correlación.
Son los datos que publicó el estadístico Francis Anscombe en 1973, justamente para mostrar esto: el mismo número puede venir de nubes muy distintas.
La decisión que se rompe: el modelo lineal solo sirve para la primera. La segunda necesita una curva. En la tercera y en la cuarta, hay que revisar ese punto antes de calcular nada.
Regla para llevarte: antes de reportar una correlación, hay que dibujar la nube.
Práctica
Tres nubes de puntos, y una pregunta para cada una: qué se ve antes de mirar el número. Hay tres respuestas posibles: una recta, una curva, o un punto lejos que arrastra todo.
Nube uno. Veinte vendedores: las horas de capacitación en el eje de abajo, y las ventas en el de la izquierda. La respuesta es una recta. La nube sube de forma pareja, sin quiebres, y los puntos se reparten a los dos lados de la línea. La correlación da 0,8, y acá sí cuenta bien la historia: más horas de capacitación van con más ventas.
Nube dos. La temperatura del local, de 14 a 29 grados, y la productividad del equipo. La respuesta es una curva. La productividad sube hasta unos 21 grados, y después baja: con frío o con calor, se trabaja peor. La correlación da cero, y aun así la relación es muy fuerte. Solo que no es una recta. Correlación cero no quiere decir que no haya relación.
Nube tres. Dieciséis sucursales: la superficie y las ventas de cada una. La respuesta es un punto lejos. Quince sucursales forman una nube sin dirección, y una sucursal gigante queda sola, arriba a la derecha. Con ella, la correlación da 0,93. Sin ella, 0,01. Todo el número lo arma un solo punto.
En resumen. Primero se mira la forma: recta, curva, o un punto lejos. Recién después, el número.